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    光明日报 2021年12月23日 星期四

    数学如诗,境界为上

    作者:严加安 《光明日报》( 2021年12月23日 16版)

        光明图片/视觉中国

      王国维在《人间词话》中提出:“词以境界为最上。有境界自成高格,自有名句。”他说:“有造境,有写境,此‘理想’与‘写实’二派之所由分。”按我理解,“造境”是以意念和想象为境,“写境”是描写现实的景物。王国维还把艺术家分为“写实家”和“理想家”,并认为这两者是相通的。他还写道:“诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外。入乎其内,故能写之。出乎其外,故能观之。入乎其内,故有生气。出乎其外,故有高致。”

      数学家维纳说:“数学是一门精美的艺术”。我认为,数学如同诗歌,评价一项数学成就,也应以境界为上。数学上也有“造境”与“写境”之分,前者是“创造理论”,后者是“解决难题”。数学家也有“写实家”和“理想家”之分,前者是“入乎其内”,侧重应用数学;后者是“出乎其外”,侧重纯粹数学,但两者是互通的。

      数学与诗歌有许多共性,下面归纳为八点。

      第一,数学和诗歌的源泉都是自然和社会。数学史家克莱因认为:“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”

      第二,数学和诗歌都追求和谐与简洁。诗歌是力图通过简洁的语言和韵律,抒发诗人的情怀,表达深邃的哲理。数学的和谐是不言而喻的。至于数学的简洁,一方面数学结果是通过简明的命题或定理的形式来表述的;另一方面,在研究过程中,数学家追求在较少条件下推出尽可能广泛而深刻的结论,或者力图简化已有结果的证明。

      第三,数学中的“对偶”与诗词中的“对仗”是异曲同工。诗词中的“对仗”能使意境更加优美,抒情更加感人,哲理更加深邃。数学中的“对偶”使得数学理论变得更加深刻,更加优美。数学中的“对偶”不只是数学的结构和框架,而且是一种思维方式,也是重要的证明工具和技巧。

      第四,数学和诗歌的创作都需要直觉和想象力。所谓直觉,就是没有经过意识推理而对某事物产生的理解和判断。当然,任何科学和艺术的创作都需要直觉和想象力,但数学和诗歌更为突出。例如,李白《望庐山瀑布》中诗句“飞流直下三千尺,疑是银河落九天”就极富直觉和想象。这种直觉和想象是源于诗人的形象思维。数学史家克莱因说:“在预测能被证明的内容时,和构思证明的方法时一样,数学家们利用高度的直觉和想象。”法国著名数学家庞加莱认为:“我们靠逻辑来证明,但要靠直觉来发明。”这里的“发明”就是指提出问题和构思证明的方法。

      第五,诗歌创作和数学研究都需要激情和灵感。诗人有了激情才能把自己的感悟加深和放大,把内心情感宣泄出来,作品才能打动人和感染人。对数学研究来说,激情来自于探求未知真理的好奇和对美的追求。灵感也叫顿悟,它是一种近乎无意识或潜意识的非逻辑式的创造性思维活动。灵感是对某一问题长期思考以后突然产生的思想火花,有时产生于全神贯注思考问题之际,有时却是在不经意间或意识蒙胧之中。灵感有时也来源于对不同现象的类比和联想。

      第六,数学研究和诗歌创作都需要有美感。法国数学家庞加莱在《数学创造》一文中形象地描述了数学美感在数学创造过程中的作用,他说:“各种数学概念在潜意识里碰撞组合,数学直觉从中筛选有意义的组合,进而进行创造。……潜意识做出选择时,所用的标准便是数学的美感,数和形的和谐感,几何学的雅致感。”数学史家克莱因认为:“进行数学创造的最主要驱动力是对美的追求。”

      第七,“创新”是数学和诗歌的共同美学准则(即评价标准)。艺术家把“创新”叫作艺术风格。例如,李白的诗“豪迈奔放,飘逸若仙”,是浪漫主义风格;杜甫的诗则“深沉蕴蓄,抑扬曲折”,是现实主义风格。对数学研究而言,创新必须是在一定科学范围内有比较重要的意义。

      第八,数学和诗歌的另一共同美学准则就是《人间词话》中所说的“境界为上”。数学的境界包括:1)大道至简,大美天成;2)简洁、和谐、对称、雅致;3)颠覆性的创新;4)交叉、融合、统一。

      下面举几个高境界的数学例子。首先是两个美妙的数学公式。一是欧拉公式eiπ+1=0,它把数学里面最基本的几个要素全都整合在一块了,其中1是自然数的单位,0是正负数的分界点,e是自然对数的底,π是圆周率,i是虚数单位。二是欧拉公式V+F-E=2,公式表明:任何一个简单凸多面体,它的顶点数V加上面数F,减去棱数E必定等于2。这两个欧拉公式堪称“大道至简、大美天成”的数学公式。

      数论中的三个著名猜想:“哥德巴赫猜想”(任何大于2的偶数可以表为两个素数之和)、“孪生数猜想”(存在无穷多对素数其差等于2)和“黎曼猜想”(黎曼ζ函数所有非平凡零点都位于复平面中实部为1/2的直线上),更是高境界数学的例子,尽管它们都还没有得到证明。又如庞加莱猜想、费尔马大定理、四色定理、伽罗瓦群论、黎曼几何、哥德尔不完备定理、伊藤清的随机分析、香农信息论等,这些都是属于“简洁、和谐、对称、雅致”高境界数学的例子。

      20世纪50、60年代,格罗滕迪克对代数几何进行了彻底的革命,建立了“概形理论”,堪称一项颠覆性的创新。他因此于1966年获得菲尔兹奖。在概形理论基础上,数学家们取得了一系列杰出成就:1973年,德利涅证明了韦伊猜想(1978年获菲尔兹奖); 1983年,法尔廷斯证明了莫德尔猜想(1986年获菲尔兹奖);1995年,怀尔斯证明了费马大定理(1996年获菲尔兹特别奖)。

      关于“交叉、融合、统一”这一数学境界,我举两个例子。其一是Atiyah-Singer指标定理:紧流形上的椭圆偏微分算子的解析指标(与解空间的维度相关)等于拓扑指标(决定于流形的拓扑性状)。其二是朗兰兹纲领,它是将数学中某些表面上毫不相干的领域(数论、代数几何与约化群表示理论)建立一种本质联系的构想。纲领是由朗兰兹在1967年给韦伊的一封信件中提出的。法籍越南数学家吴宝珠因证明朗兰兹纲领基本引理获得了2010年菲尔兹奖,朗兰兹本人获2018年度阿贝尔奖(编者注:为纪念挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔设立的数学奖,每年颁发一次)。

      我本人是研究概率论与随机分析的。我曾试图用诗歌来解析我的专业内涵,写过一首“悟道诗”:

    随机非随意,概率破玄机。

    无序隐有序,统计解迷离。

      下面是我的另一首有关概率论的科学诗《随机与概率》,希望能引起大家对概率论的关注和兴趣。

    随机与概率

    熙熙人群朋友不期而遇,茫茫宇宙陨星意外撞击。

    随机事件发生并非随意,概率破解其中奥秘玄机。

    情境重复催生稀有事件,历史长河沉淀自然奇迹。

    同班同学常有生日相同,彩民两次中奖并不神奇。

    抵押贷款房产汽车按揭,精巧设计需要借助概率。

    保费计算基于概率模型,期权定价有赖随机分析。

    概率技巧有助破解密码,人工智能需用概率逻辑。

    日常生活常遇概率问题,学点概率知识终身受益。

      (作者:严加安,系中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员)

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