对称之美

    数学是什么？对这个问题，我们有很多的答案。一种回答是，数学是研究数与形的科学。这种研究的一个非常重要的方面，就是要理解现象背后的结构与规律，更确切的说，就是隐含的对称。

    既然数学一贯都被认为是理解自然界和宇宙的基本语言，我们当然有理由相信，对称将会在诸如艺术、文学和自然科学的方方面面扮演重要的角色。

    在这里，我们讨论几个艺术、建筑和自然科学中的例子，其中将会看到对称的观念起了怎样的关键作用。那么，我们就带着读者，去领略浩瀚文献中所描述的对称及其广泛的应用吧！

    演讲人：季理真

    什么是对称

    根据《牛津字典》，对称是一种结构，使得物体可以被分割成形状和大小相同的几部分，或者是物体关于边界和中心的类似重复。

    我们要举的第一个例子，也许是大多数中国人最熟悉的，是北京的天坛。试想你沿着天坛的台阶拾级而上，一定会感受到一种和谐的美感。这座沿着道路中轴对称的建筑展现了令人折服的庄严与肃穆，这是反射对称（或镜像对称）的例子。

    印度阿格拉的泰姬陵，建于1631年—1643年，是莫卧儿王朝帝王沙贾汉为爱妃泰吉·马哈尔所造。据传当年沙贾汉听闻爱妃先他而去的消息后，竟一夜白头。这座建筑也是沿中心线对称的。除了整体上的对称，局部上也遵循了对称美的原则。

    希腊雅典的帕台农神庙，建于公元前447年—438年。无论从前方或侧面看，它都是对称的。而它的柱子呈周期分布，也体现了一种平移对称。

    如果你在春暖花开的时节走进公园，你会看到争妍斗丽的百花大都是对称的。比如，冬乌头就是旋转对称的。有些花还带有更多的对称，比如大丽花，除了旋转对称，大丽花还有一种由内而外、层次鲜明的对称。多重对称的叠加让花朵更加的艳丽。

    巴黎圣母院北边墙面上的巨大的玫瑰窗，有着五彩华丽的旋转对称，令人叹为观止。它建于1163年—1250年，圆面的直径大约是40英尺。

    南太平洋的复活节岛上的石雕人像，有的石像重量超过50吨。让人费解的是，为什么这些石像会出现在这个小岛上？在没有现代化起重机的帮助下，这些石像是如何竖立起来的？

    在上面的所有例子中，都包含着一个保持物体形状或模式不变的等距群。其中，有等距群是由相对于中线的反射生成的二阶群；还有是一个由旋转构成的有限群。如果假设物体延伸到无穷远处，那么就有一个无穷的平移变换群作用在其上，并且保持模式不变。

    在此基础上，我们可以从数学上给出一个物体对称的定义，即有一些非平凡的等距作用在其上。明显的，这样的等距全体构成了一个群，并把物体分成了相同的几个部分。

    同样的，我们称一个物体是非对称的，如果不存在非平凡等距作用在其上。给了两个物体A与B，如果A的等距群包含了B的等距群，那么我们就说A比B更加的对称。

    为了更好的表述这些概念，我们考虑四个图形：圆、正方形、长方形和一个不规则的四边形。明显的，这不规则的四边形不是对称的。同样，直觉告诉我们，圆是最对称的，正方形比长方形更加的对称。事实上，圆的等距群是无穷的，并且包含了正方形的有限等距群，而后者又包含了长方形的等距群。

    破缺的对称

    人生不可能是尽善尽美的。我们也很难找到一朵花是完美无缺的。虽然人体总的来说是左右对称的，可是这种对称远远不是完全的。每个人左右手的粗细不一样，一只眼睛比另一只眼睛更大或更圆，耳垂的形状也不同。最明显的，就是每个人只有一个心脏，通常都在靠右的位置（当然也有极少数人的心脏在左侧）。

    不仅日常生活中我们会有意的打破对称，艺术家有时也会极力地创造出不对称的图像和物体，可是仍然给人以和谐与平衡的美感。

    建于1145年的法国沙特尔大教堂。教堂在塔楼以下的部分是反射对称的。同样在局部上也有许多的对称。例如，中间的窗子是旋转对称的。试想一下，如果塔楼也是对称的，那么这座教堂看起来也许就没有现在那么吸引人了。

    许多人也许会有这样的共识，脸上如果有一个美人痔，那么会让人眼前一亮，可是如果有两个对称的美人痔，肯定会让人觉得不舒服。

    有时候对称会以一种非常微妙的方式出现。比如，建于公元前486年—460年的奥林匹亚宙斯神庙的西门的三角楣上的雕塑，它的外轮廓（或者用数学的语言来说就是闭包）呈现出反射对称性，并且中线两边的人数相等。可是两边的塑像却有着天壤之别。

    破缺对称另一个例子是一幅镶嵌画，讲述的是耶稣发五条鱼、两个饼给五千信徒吃饱的故事。

    上面的例子都是反射对称的变体。平移对称的近似也出现在艺术中。例如，在宋朝著名画家米友仁的画中，山峰基本上是呈现周期变化的。另一个近似平移对称的例子，是北京颐和园内沿着湖岸的画廊。

    广义的对称

    在许多情况下，和谐或有序来自于多种对称运算的组合。直线IR上的周期现象来自于一个给定非零实数的叠加。在指数映射exp:IR→IR＞0下，IR上的平移就转换成正的半直线IR＞0上的乘法。我们给出两个从平移、旋转和比例变换产生出有序模式的例子。

    第一个是伊朗沙马拉的清真寺，建于公元848年—852年。其中的塔楼把垂直平移，水平面上的旋转，以及比例变换结合了起来。

    第二个例子是鹦鹉螺的壳，是旋转与比例变换的完美结合。

    另一类对称的变体就是，虽然局部上是对称的，可是不存在整体的对称。一个著名的例子是彭罗斯平铺，这是非周期的。

    分形是用来处理不规则形状的。可是它们有着众多的局部对称。事实上，在比例变换下，这种模式不断重复出现。在这种意义下，它有着丰富的局部对称性。人们创造了有许多漂亮的分形图片。

    对称背后的数学

    如我们前面所定义的，平面上一个物体如果有一个非平凡的对称群作用，则称它是对称的。所以对称现象背后的数学就是群论。

    群论是法国青年数学家伽罗华为了用根式来解决代数方程而引入的。

    我们知道任意二次方程ax2+bx+c=0可以用根式来解。16世纪时人们就发现三次和四次代数方程可以用根式来解。对于高次方程一直都不得其解，直到19世纪阿贝尔证明了，对5次以上方程，不存在一个一般解的公式。

    对于某些特殊的高次方程，仍然可以用根式来解。伽罗华用代数方程的对称性给出了方程可解的精确条件。他的结论也许有些令人惊讶：如果方程具有过多对称的话，那么就不能用根式来解。（这似乎有悖于人们的认识，丰富的对称性通常可以让问题得到简化。所以对于对称的合理解释就显得非常重要）

    考虑下面三个方程 

    （x-1）5=0

    （x4-6x2+5）(x-2)=0

    a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6=0

    其中a1，……，a6是随机选取的整数。

    我们应该怎样定义一个方程的对称性以及对称程度的比较？精确的定义需要相当的技巧。我们可以粗略的描述为每个方程都有一个有限群，称为伽罗华群。伽罗华群越大，就越对称。

    第一个方程有平凡的对称（或者干脆说没有对称），所以可以很容易解出，即x＝1。第二个方程的对称性也很小，所以方程可以用根式解出：

    x1＝2，x2＝-1，x3＝1，

    x4＝-，x5＝-

    也许稍有些意外的是，最后这个具有随机系数的方程是最对称的，所以不能够用根式解出。根据通常的认识，随机性与对称性应该是背道而驰的，所以我们会倾向于认为一个具有随机系数的方程不是对称的。可是在许多情况下，我们也看到随机是被某些对称所支配的。另一个例子是，随机矩阵的特征值分布是由多种对称性支配的。这种现象可以用中国的一句成语来描述，就是“物极必反”。

    伽罗华群是有限的。我们前面遇到的对称群，除了直线IR上的平移群以外，也都是有限的。

    所有实数集合IR构成一个群，直线上周期现象的平移群是它的一个子群。IR是挪威数学家索菲斯·李所引入的李群的一个重要例子。

    李群通常是不可数的，并且有非平凡的拓扑，虽然它们包含某些有限群与离散子群作为特例。另一个重要的例子是IRn中全体正交变换构成的群O（n），一个非交换群。另一个稍大的群是IRn中的全体可逆线性变换构成的群GL（n，IR）。另一个重要的例子是作用在Cn上的特殊酉群SU（n）。

    在数学中，对称的概念经常与李群的概念等同起来。我们称一个对象具有由一个李群G所给定的对称，当这个群G保持不变地作用在其上，或者满足某个简单的变换条件。

    比如，我们熟知sin2πx以1为周期，所以在平移群Z的作用下保持不变。函数sin2πx的图像是一个波。

    虽然函数ex不是周期的，它在平移作用下满足一个简单的公式：ex＋1＝eex，所以ex相对于平移群，也享有某种对称性。这种连续的比例变换是中国山水画的重要组成部分。

    正多边形与正多面体

    代数方程的伽罗华群论也许有些抽象和形式化，让我们回到对称的更加几何直观的概念中。

    如同前面所提到的那样，正方形比长方形更加的规则。事实上，正方形是正多边形的一种。一个正多边形满足（1）所有的边长都相等；（2）相邻边夹成的角度都相等。

    当边数趋于无穷时，正多边形就收敛到圆，所以圆可以解释为完美理想的正多边形。

    每个正多边形具有反射和旋转对称性，在相同边数的多边形中无疑是对称程度最高的。另一方面，在艺术和建筑中，常用的往往是那些非等边的三角形。比如帕台农神庙顶部的三角形，还有金字塔就不是等边的。非常受欢迎的是黄金三角形和相应的黄金分割。

    在拉斐尔的名画《牧场圣女》中，我们可以看到其中的许多三角形。我们留给读者一个小练习，就是找出其中一共有多少个三角形。

    圆周是理想化的正多边形，具有无穷的对称性。它在中国传统艺术中被广为使用。圆形代表了一种向上运动的感觉，可是它也传达着权势和实力。它也透露着宁静的气息。事实上，在中国园林设计中，圆形图案占了很大的比重，比如苏州园林的门洞。

    正多边形到三维欧氏空间IR3的推广，就是正多面体。与二维情形不同，一共只有5种正多面体。

    由于圆周的良好性质，它是所有等长曲线中包围面积最大的。同样的，三维欧氏空间IR3中的球面也具有同样的极值性质。这也解释了为何肥皂泡都是球形的（还有热气球）。

    由定义，一个多面体被称为正多面体，如果满足下面的条件：1.它被有限多个平面包围，每个面都是正多边形；2.所有面在等距下都是相同的；3.所有相邻平面间的二面角都相等。

    明显的，立方体是正多面体。其他四个正多面体是：正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。它们的等距群是O（3）的有限子群，并且可以具体的计算出来。

    事实上，恩贝多克利认为，万物都是由四种基本元素构成的：火、空气、水和土。这个理论在希腊被广泛接受。

    既然正多面体是完全理想化的，而世界也是完美的，柏拉图于是提出：世界是由正多面体构成的。火对应于正四面体，正二十面体有着最多的面，最易滑动，就对应于水，土就是正立方体，空气就是正八面体。剩下的正十二面体就代表宇宙。由于等边三角形存在于正四面体，正八面体和正二十面体中，所以火、空气和水可以相互转换，但不能转换成正立方体代表的土。

    开普勒用正多面体建立了行星运动理论。所以，人们相信正多面体在微观和宏观上都起着统治作用。

    正多面体理论及其推广在数学中非常重要，比如，在Coxeter的反射群理论，以及李群论和圈形簇理论中。 

    特征值的美妙音符

    对称或正则的概念在数学中非常重要，一个例子与著名的问题“听出一个鼓的形状”有关。这个问题最早由洛仑兹，后来由Kac在一篇著名的文章“Can you hear the shape of a drum?”中提出。

    洛仑兹在1910年的根廷根大学提出一个问题，能够听出一个鼓的体积。这个问题被当时还是学生的Weyl解决，令人惊叹。这是Weyl伟大数学生涯的开始，对称是Weyl工作的一个主旋律。

    著名的Weyl定理说，小于λ的特征值的个数按照cnvol(Ω)形式增长，其中cn是只依赖于维数的万有常数。从这个公式我们就可以看出特征值决定了vol(Ω)。

    这个定理也可以表述为，正规化的特征值cλ在合理的常数c下，按照i增长。这是非常了不起的公式，因为特征的计算通常是很困难的，而且头几个特征值往往并不以对称或规则?的模式出现。如我们在前面所讨论的，序列1,2，……，是最对称的对象，自然的在艺术中占有一席之地。

    一个自然的问题是，差cλ-i的行为如何。这个问题很复杂。它的分布很可能由某个更高层次的对称所支配，这是受到了我们下面将要讨论的黎曼zeta函数ζ(s)的启发。

    素数或齐达函数的对称

    素数2，3，5，7，11，……是最基本和重要的研究对象。可是它们在自然数列1，2，3，……中的分布看起来好像完全是随机的。研究它们的一个重要工具就是著名的黎曼zeta函数。

    模性的现象在数学和物理学中频繁出现。一个例子是郎兰兹纲领，即何有意义和实际的数的序列都是模性的，也就是说它们是一个模形式（或自守表示）的系数。一个著名的例子就是怀尔斯关于费马大定理的证明。另一个重要的例子是Borcherds[Bo]证明的大魔群的月光猜想，他为此得到了1998年的菲尔兹奖。

    这也可以解释为数学和自然科学中无处不在的对称。

    Zeta函数的零点ζ(s)在素数分布的研究中特别重要。著名的黎曼猜测说，它的所有非平凡零点都出现在对称线Re(s)=上。这是美国克雷数学研究所悬赏百万美元的难题。

    对称性在ζ(s)的零点分布方面发挥了重要的作用。事实上，在合理的正规化以后，零点的分布可以用李群来控制，李群也支配了随机矩阵特征值的间隔。

    李群与物理

    对称与李群在物理学中有许多应用。在物理学中的应用在极大刺激了群伦的发展。事实上，量子力学极大影响了李群表示论的发展。

    对称可以在物理学中从多个层面上观察到。例如，在牛顿力学中，包括万有引力定律在内的许多定律都在平移、旋转和反射下保持不变。

    在广义相对论中，对称性由洛伦兹群（或庞卡莱群）所支配。狭义相对论的一个重要特征就是空间与时间的观念是对称的。其实，伟大的物理学家Dirac对杨振宁说过，这个概念也许是爱因斯坦对物理学最大的贡献。

    对称性在物理中的一个非常重要的应用是，可以从对称推出守恒律，这是历史上最著名的女数学家Emmy Noether证明的。比如，空间中的平移对称（或不变性）可以推出动量的守恒律，时间的平移不变性可以推出能量的守恒律。

    反射对称在艺术中也普遍存在。可是在物理中，这是最复杂的问题，有时甚至是错误的。两个分别发生在右手坐标和左手坐标系里的物理现象称为宇称守恒。事实上，杨振宁和李政道在1956年提出，在弱作用领域，宇称是不守恒的。他们为此在1957年获得诺贝尔物理学奖，它们的发现被著名华裔女物理学家吴健雄用实验证实。

    对称性（或群论）在物理学中的另一个了不起的应用是关于亚原子粒子（称为八重道粒子）的分类规划，这种命名来自于佛教中的八正道（Eightfold Way），这是佛教认为可以达到至善至美的中庸之道。为了解释这一规划，Gell-Mann引入了基本夸克，使他在1969年获得了诺贝尔物理学奖。

    简单的说，一个粒子对应于希尔波特空间上哈密尔顿作用的特征函数。如果一个李群保持哈密尔顿作用（或与之交换），那么哈密尔顿作用的特征空间就是表示空间。同一个特征空间中的状态有许多共同的性质。除了有时出现的退化现象，特征空间给出了群的所有不可约表示，并且术语一个不可约子空间的特征函数（或状态）自然的形成初等粒子的多重态。在二十世纪六十年代初期，许多新的亚原子结构被发现，可是缺少一致的组成结构。李群SU（3）的加权空间分解给出了粒子多重态的参数化。一个相关的特别重要的表示是李代数SU（3）的伴随表示，它是八维的，所以命名为八重道。一些新的粒子最早就是由这个分类所预言，后来由实验加以证实。

    除了这些和SU（3）的平凡表示，只有另一个10维的表示很自然的出现。在SU（3）上C3的标准表示并不出现。这个标准表示中的三个权向量被Gell-Mann称为夸克。对表示的标准运算，如取张量和对称积可以用来解释和澄清亚原子粒子的某些结构。在这个意义下来说，SU（3）代表了宇宙的对称（或者更加谦虚的说，代表了亚原子世界的对称）。

    对称空间

    在上面的各节中，我们讨论了欧氏空间、双曲平面（即庞卡莱圆盘）中的对称物体和对称模式。

    虽然前面没有提，可是直觉告诉我们，这些空间一定是对称的，至少具有丰富的对称性质。事实上，这个条件是必要的。

    我们发现，他们是一类非常重要，被称为对称空间的黎曼流形的两个实例。对称空间的定义比对称物体的定义要复杂得多。我们只作简要讨论。

    在IRn中，任意两个都没有区别，因为我们总可以用一个等距平移把一个点变到另一个点。具有这种性质的空间称为齐性空间。在IRn中，一个更强的性质是，任意两点处的任意两个方向都是一样的，也就是说可以用一个等距，把一个方向变到另一个方向。这些性质双曲平面也同样具有，可是这还不是对称空间的正确定义。

    对称空间的正确定义是说，在每一个点处，相对于它的反射都是空间的整体等距。我们很容易验证欧氏空间和双曲平面是对称空间。

    对称空间的另一个重要例子是复平面C2，但它不满足上面两个条件。

    对称空间定义以后，一个自然的问题是，是否它们与李群相关，我们已经强调过李群是对称概念的严格数学基础。回答当然是肯定的，对称空间与李群的关系仍然是数学中的一个活跃的研究领域。比如，朗兰兹纲领的几何背景就由对称空间及其商空间构成。

    对称在许多场合中出现。完美的上帝创造完美的宇宙，对称是其中的重要一环。完美的理想化总是通过对称表现出来。

    作者感谢他的夫人王岚在准备这篇讲稿过程中所给予的帮助。徐浩翻译了本文，周诚放帮助整理了文中的图片，一并表示感谢。